Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點(diǎn)G、H、E、F，則EF+GH的最小值是（ ）

A．6 B．8 C．9.6 D．10

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題分析：如圖，設(shè)GH的中點(diǎn)為O，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AC，過(guò)B點(diǎn)作BN⊥AC，垂足分別為M、N，根據(jù)∠B=90°可知，點(diǎn)O為過(guò)B點(diǎn)的圓的圓心，OM為⊙O的半徑，BO+OM為直徑，可知BO+OM≥BN，故當(dāng)BN為直徑時(shí)，直徑的值最小，即直徑GH也最小，同理可得EF的最小值．

解：如圖，設(shè)GH的中點(diǎn)為O，

過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AC，過(guò)B點(diǎn)作BN⊥AC，垂足分別為M、N，

在Rt△ABC中，BC=8，AB=6，

∴AC==10，

由面積法可知，BNAC=ABBC，

解得BN=4.8，

∵∠B=90°，

∴GH為⊙O的直徑，點(diǎn)O為過(guò)B點(diǎn)的圓的圓心，

∵⊙O與AC相切，

∴OM為⊙O的半徑，

∴BO+OM為直徑，

又∵BO+OM≥BN，

∴當(dāng)BN為直徑時(shí)，直徑的值最小，

此時(shí)，直徑GH=BN=4.8，

同理可得：EF的最小值為4.8，

∴EF+GH的最小值是9.6．

故選C．