Question

如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E在△ABC內，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點F在邊AB上，EF∥BC．
（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；
（2）線段BF、AB、AC的數量之間具有怎樣的關系？證明你所得到的結論．

Answer 1

分析：（1）證明△AGE≌△ACE，根據全等三角形的性質可得到GE=EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結論；
（2）先證明BF=DE=

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BG，再證明AG=AC，可得到BF=

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（AB-AG）=

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（AB-AC）．

解答：（1）證明：延長CE交AB于點G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
又∵∠GAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AGE≌△ACE．
∴GE=EC．
∵BD=CD，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四邊形BDEF是平行四邊形．

（2）解：BF=

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（AB-AC）．理由如下：
∵四邊形BDEF是平行四邊形，
∴BF=DE．
∵D、E分別是BC、GC的中點，
∴BF=DE=

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BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC，
∴BF=

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（AB-AG）=

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2

（AB-AC）．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理，題目綜合性較強，證明GE=EC，再利用三角形中位線定理證明DE∥AB是解決問題的關鍵．