Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，連接BD．

（1）若AD=3，BD=4，求邊BC的長；

（2）取BC的中點E，連接ED，試證明ED與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）BC=；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理易求AB的長；根據△ABD∽△ACB得比例線段可求BC的長．

（2）連接OD，證明DE⊥OD．

（1）解：∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．

在Rt△ADB中，∵AD=3，BD=4，

∴由勾股定理得AB=5．

∵∠ABC=90°，BD⊥AC，

∴△ABD∽△ACB，

∴=，

即=，

∴BC=；

（2）證明：連接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD；

又∵E是BC的中點，BD⊥AC，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠EBD．

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，

即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD．

∴ED與⊙O相切．