Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內接于⊙O，作BD⊥AC于點D，OM⊥AB于點M．sin∠CBD=

1

3

．則OM=

 

．

Answer 1

分析：連接AO并延長，交圓O于點N，連接BN，則OM是△ABN的中位線，根據圓周角定理即可證明∠NAB=∠CBD，即可求得NB的長，根據三角形中位線定理即可求解．

解答：解：連接AO并延長，交圓O于點N，連接BN．
∵AN是直徑，
∴∠ABN=90°，
∴∠ABN=∠CDB，
又∵∠C=∠N，
∴∠NAB=∠CBD，
∴sin∠NAB=

BN

AN

=sin∠CBD=

1

3

，
∴NB=AN•sin∠CBD=

2

3

，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
又∵OA=ON，
∴OM是△ABN的中位線．
∴OM=

1

2

NB=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題主要考查了三角形中位線定理，正確作出輔助線，利用等弧所對的圓周角相等把sin∠CBD=

1

3

進行轉化是解題的關鍵．