Question

如圖：AB是⊙O的直徑，以OA為直徑的⊙O₁與⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足為E．

（1）求證：AD=DC；
（2）求證：DE是⊙O₁的切線；
（3）如果OE=EC，請判斷四邊形O₁OED是什么四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）正方形，證明見試題解析．

試題分析：（1）連OD可得OD⊥AC，又有OA=OC，所以第一問可求解；
（2）證明O₁D⊥DE即可；
（3）如果OE=EC，又D為AC的中點，所以四條邊相等，再根據角之間的關系，即可得出其形狀．
試題解析：（1）連接OD，∵AO為圓O₁的直徑，則∠ADO=90°．∵AC為⊙O的弦，OD為弦心距，∴AD=DC．

（2）∵D為AC的中點，O₁為AO的中點，∴O₁D∥OC．又DE⊥OC，∴DE⊥O₁D，∴DE與⊙O₁相切；
（3）如果OE=EC，又D為AC的中點，∴DE∥O₁O，又O₁D∥OE，∴四邊形O₁OED為平行四邊形．又∠DEO=90°，O₁O=O₁D，∴四邊形O₁OED為正方形．