Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是正方形，點A，C的坐標分別為（2，0），（0，2），D是x軸正半軸上的一點（點D在點A的右邊），以BD為邊向外作正方形BDEF（E，F兩點在第一象限），連接FC交AB的延長線于點G．若反比例函數的圖象經過點E，G兩點，則k的值為 ______________．

Answer 1

【答案】5

【解析】分析: 過F作FN垂直于x軸,交CB延長線于點M,利用AAS得到三角形ABD與三角形BMF全等, 利用全等三角形對應邊相等得到AD=FM,進而表示出F坐標, 根據B為CM中點,得出G的CF中點,表示出G坐標,進而得出E坐標, 把G與E代入反比例解析式求出a的值,確定出E坐標,代入反比例解析式求出k的值即可.

詳解: 過F作FN⊥x軸,交CB的延長線于點M,過E作EH⊥x軸,交x軸于點H,

∵∠FBM+∠MBD=90°,∠MBD+∠ABD=90°,

∴∠FBM=∠ABD,

∵四邊形BDEF為正方形,

∴BF=BD,

在△ABD和△BMF中,

∠BAD=∠BMF,∠ABD=∠MFB,BD=BF,

∴△ABD≌△BMF(AAS),

設AD=FM=a,則有F(4,2+a),C(0,2),

由三角形中位線可得G為CF的中點,

∴G(2,2+12a),同理得到△DHE≌△BAD,

∴EH=AD=a,OH=OA+AD+DH=4+a,

∴E(4+a,a),∴2(2+12a)=a(4+a),即a2+3a-4=0,解得:a=1或a=-4(舍去),

∴E(5,1),

把F代入反比例解析式得:k=5.

故答案為:5.