Question

探索與研究：
中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明．最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽．趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細證明．在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的．每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）²．于是便可得如下的式子：
S_{正方形EFGH}=c²=（a-b）²+4×

1

2

ab
所以a²+b²=c²
（1）你能用下面的圖形也來驗證一下勾股定理嗎？試一試！
（2）你自己還能設(shè)計一種方法來驗證勾股定理嗎？

Answer 1

分析：（1）由梯形的面積公式可得S_梯形ABCD=

1

2

（a²+b²）+ab，由拼圖可得S_梯形ABCD=2×

1

2

ab+

1

2

c²，所以

1

2

（a²+b²）+ab=2×

1

2

ab+

1

2

c²∴a²+b²=c^2；
（2）可利用相似三角形證明．

解答：解：（1）∵S_梯形ABCD=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab，S_梯形ABCD=2×

1

2

ab+

1

2

c²
∴

1

2

（a²+b²）+ab=2×

1

2

ab+

1

2

c²∴a²+b²=c²

（2）在Rt△ABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D．

在△ADC和△ACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∠CAD=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
AD：AC=AC：AB，
即AC²=AD•AB
同理可證，△CDB∽△ACB，從而有BC²=BD•AB．
∴AC²+BC²=（AD+DB）•AB=AB²，即a²+b²=c²．

點評：此題考查的是勾股定理的證明，盡量掌握多種證法．