Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，點C在⊙O上，且PC2＝PBPA．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）已知PC＝20，PB＝10，點D是的中點，DE⊥AC，垂足為E，DE交AB于點F，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，證明△PBC∽△PCA，得到∠PCB＝∠PAC，根據直徑得到∠ACB＝90°，再利用OC＝OB推導出∠PCB+∠OCB＝90°即可得到結論；

（2）連接OD，根據PC2＝PBPA求出AB=30，設BC＝x在Rt△ABC中根據勾股定理求出x，證明△DOF∽△ACB求出，根據EF∥BC得到，由此求出EF.

（1）證明：連接OC，如圖1所示：

∵PC2＝PBPA，即，且∠P＝∠P，

∴△PBC∽△PCA，

∴∠PCB＝∠PAC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：連接OD，如圖2所示：

∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PBPA，

，

∴AB＝PA﹣PB＝30，

∵△PBC∽△PCA，

∴，

設BC＝x，則AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，

解得：，即BC＝，

∵點D是的中點，AB為⊙O的直徑，

∴∠AOD＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠AEF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠DFO＝∠ABC，

∴△DOF∽△ACB，

∴，

，即，

∵EF∥BC，

∴，

．