Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，AE⊥l交直線l于點E、交⊙O于點F，BD⊥l交直線l于點D．

（1）求證：△AEC∽△CDB；

（2）求證：AE+EF=AB；

（3）若AC=8cm，BC=6cm，點P從點A出發沿線段AB向點B以2cm/s的速度運動，點Q從點B出發沿線段BC向點C以1cm/s的速度運動，兩點同時出發，當點P運動到點B時，兩點都停止運動．設運動時間為t秒，求當t為何值時，△BPQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當t=或t=或t=時，△BPQ為等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）、根據直角得出∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACE=90°，根據AE⊥DE，BD⊥DE得出∠BCD=∠EAC，從而說明三角形相似；（2）、連接BF、OC根據DE為切線得出OC⊥DE，根據AE⊥DE，BD⊥DE得到OC∥BD∥AE，根據O為中點，得出OC為梯形的中位線，得到OC=，根據AB為直徑得出∠BFE=90°，然后說明BDEF為矩形，得出BD=FE，即AE+EF=AE+BD，得到OC=，從而說明結論；（3）、首先根據題意求出AB和BP的長度，根據BP=BQ，BP=PQ，BQ=PQ三種情況求出t的值.

試題解析：（1）、∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB=90° ∴∠BCD+∠ACE=180°-∠ACB=90°

∵AE⊥DE，BD⊥DE ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴∠ACE +∠EAC=90° ∴∠BCD =∠EAC ∴△AEC∽△CDB

（2）、連結BF、OC ∵DE切⊙O于點C ∴OC⊥DE

又∵AE⊥DE，BD⊥DE ∴OC∥BD∥AE又∵O是AB的中點 ∴OC是梯形ABDE的中位線

∴OC=∵AB是⊙O的直徑 ∴∠AFB=90° ∴∠BFE=90°

又∵∠AED=∠BDE=90° ∴四邊形BDEF是矩形

∴BD=FE ∴AE+EF=AE+BD ∴OC=∵OC= ∴AE+EF=AB

（3）、由題意可知：AP=2t，BQ=t，0＜t≤5 ∵∠ACB=90° ,AC="8,BC=6" ∴AB=∴BP=10-2t

當BP=BQ時 10-2t=t t=

②當PB=PQ時，過點P作PG⊥BC于點G ∵PB=PQ，PG⊥BC

∴BG= = ，∠PGB=90°∴∠ACB=∠PGB =90° 又∵∠PBG=∠ABC ∴△BPG∽△BAC

∴∴

③當BQ=PQ時，過點Q作QH⊥AB于點H同理可求得：BH= = ，

△QHB∽△ACB ∴∴∴t=

綜上所述，當t=或t=或t=時，△BPQ為等腰三角形.