Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AB=kBC，點P是四邊形ABCD內一點，且∠BAP=∠BCP，連接PB、PD．猜想∠ABP與∠ADP的關系，并證明．
說明：如果你經過反復探索沒有解決問題，可以補充條件k=1．在補充條件后，先畫圖，再完成上面的問題．

Answer 1

分析：利用平行四邊形的性質可求出△PBE∽△PDH，從而得出∠ABP=∠ADP．

解答：結論：∠ABP=∠ADP
證明：如圖1，過點P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H．
∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴AD∥BC∥PE，AB∥CD∥GH．
∴∠PEA=∠ABC=∠PGC，∠PEB=∠BAD=∠PHD．
∵∠BAP=∠BCP，∠PEA=∠PGC，
∴△PAE∽△PCG，
∴

PE

PG

=

AE

CG

，
∵四邊形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四邊形，
∴AE=PH，BE=PG，DH=CG．
∴

PE

PH

=

BE

DH

．
又∵∠PEB=∠PHD，
∴△PBE∽△PDH．
∴∠ABP=∠ADP．
補充條件：k=1．
結論：∠ABP=∠ADP．
畫出草圖，如圖2．
證明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵k=1，AB=kBC∴AB=BC．
∴平行四邊形ABCD是菱形．
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC，
連接AC．
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA
∵∠BAP=∠BCP
∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP
∵BP=BP，∴△PAB≌△PCB
∴∠ABP=∠CBP=

1

2

∠ABC
∵AD=CD，AP=CP，DP=DP
∴△PAD≌△PCD
∴∠ADP=∠CDP=

1

2

∠ADC
∴∠ABP=∠ADP．

點評：本題主要考查平行四邊形的性質及相似三角形的判定與性質．