Question

如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：
①四邊形CEDF有可能成為正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四邊形CEDF的面積是定值；④點C到線段EF的最大距離為．其中正確的結論是（ ）

A．①④
B．②③
C．①②④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①當E為AC中點，F為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；
②作常規輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由②△ADE≌△CDF，就有S_△ADE=S_△CDF，再通過等量代換就可以求出結論；
④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，當DF與BC垂直，即DF最小時，FE取最小值2，此時點C到線段EF的最大距離．
解答：解：①當E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，故此選項正確；
②①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項正確；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF．
∵S_{四邊形CEDF}=S_△CED+S_△CFD，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△CED+S_△AED，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△ADC．
∵S_△ADC=S_△ABC=4．
∴四邊形CEDF的面積是定值4，故本選項正確；
④④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，
當EF∥AB時，∵AE=CF，
∴E，F分別是AC，BC的中點，故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值==2，
∵CE=CF=2，
∴此時點C到線段EF的最大距離為EF=．故此選項正確．
故選D．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質等知識，根據圖形利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關鍵．