Question

把一張邊長為40 cm的正方形硬紙板，進行適當的裁剪，折成一個長方體盒子(紙板的厚度忽略不計)．
(1)如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子．

①要使折成的長方體盒子的底面積為484 cm²，那么剪掉的正方形的邊長為多少？
②折成的長方體盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．
(2)若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上)，將剩余部分折成一個有蓋的長方體盒子．若折成的一個長方體盒子的表面積為550 cm²，求此時長方體盒子的長、寬、高(只需求出符合要求的一種情況)．

Answer 1

(1)剪掉的正方形的邊長為9 cm；
(2)當剪掉的正方形的邊長為10 cm時，長方體盒子的側面積最大為800 cm².
(3)此時長方體盒子的長為15 cm，寬為10 cm，高為5 cm.

解：(1)①設剪掉的正方形的邊長為x cm，
則(40－2x)²＝484，
即40－2x＝±22，解得x₁＝31(不合題意，舍去)，x₂＝9.
②側面積有最大值．
設剪掉的正方形的邊長為x cm，盒子的側面積為y cm²，
則y與x的函數關系式為y＝4(40－2x)x，
即y＝－8x²＋160x，
改寫為y＝－8(x－10)²＋800，∴當x＝10時，y_最大＝800.

(2)在如圖的一種裁剪圖中，設剪掉的正方形的邊長為x cm，
2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，
解得x₁＝－35(不合題意，舍去)，x₂＝15.
∴剪掉的正方形的邊長為15 cm.
答：(1)剪掉的正方形的邊長為9 cm；
(2)當剪掉的正方形的邊長為10 cm時，長方體盒子的側面積最大為800 cm².
(3)此時長方體盒子的長為15 cm，寬為10 cm，高為5 cm.