Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，4）和點(diǎn)E（3，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在條件（2）下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得△BDM的周長(zhǎng)為最小，并求△BDM周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（4）在條件（2）下，從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上，是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得△PAD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）△BDM的周長(zhǎng)最小值為，M（，）；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）依據(jù)同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0，然后再依據(jù)AAS證明△BDC≌△DEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M．先求得拋物線的對(duì)稱軸方程，從而得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí)，△BMD的周長(zhǎng)有最小值，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BD和B′D的長(zhǎng)度，從而得到三角形的周長(zhǎng)最小值，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B′的解析式，然后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；（4）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．設(shè)點(diǎn)F（a，﹣2a2+6a），則OG=a，F(xiàn)G=﹣2a2+6a．然后依據(jù)S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

試題解析：（1）將點(diǎn)B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，

解得：a=-2，b=6，

拋物線的解析式為y=﹣2x2+6x．

（2）如圖1所示；

∵BD⊥DE，

∴∠BDE=90°．

∴∠BDC+∠EDO=90°．

又∵∠ODE+∠DEO=90°，

∴∠BDC=∠DE0．

在△BDC和△DOE中，，

∴△BDC≌△DEO．

∴OD=AO=1．

∴D（0，1）．

（3）如圖2所示：作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M．

∵x=﹣=，

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，4）．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于x=對(duì)稱，

∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

∴當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí)，MD+MB有最小值（即△BMD的周長(zhǎng)有最小值）．

∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知：BD=，DB′=，

∴△BDM的最小值=．

設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b．

將點(diǎn)D、B′的坐標(biāo)代入得：，

解得：k=，b=1．

∴直線DB′的解析式為y=x+1．

將x=代入得：y=．

∴M（，）．

（4）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．

設(shè)點(diǎn)F（a，﹣2a2+6a），則OG=a，F(xiàn)G=﹣2a2+6a．

∵S梯形DOGF=（OD+FG）OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA=ODOA=×1×1=，S△AGF=AGFG=﹣a3+4a2﹣3a，

∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．

∴當(dāng)a=時(shí)，S△FDA的最大值為．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．