Question

閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題，如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O．若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，AD+BC的長度為三邊長的三角形的面積．

小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可．他先后嘗試了翻折，旋轉，平移的方法，發現通過平移可以解決這個問題．他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的長度為三邊長的三角形（如圖2）．
參考小偉同學的思考問題的方法，解決下列問題：
如圖3，△ABC的三條中線分別為AD，BE，CF．
（1）在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；
（2）若△ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于

 

．

Answer 1

分析：根據平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性質知△ADB與△ADC的面積相等，即△BDE的面積等于梯形ABCD的面積．
（1）分別過點F、C作BE、AD的平行線交于點P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形．
（2）由平移的性質可得對應線段平行且相等，對應角相等．結合圖形知以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于△ABC的面積的

3

4

．

解答：解：△BDE的面積等于1．
（1）如圖．以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形是△CFP．

（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF=PE，
∴四邊形AFEP為平行四邊形，
∴AE與PF互相平分，即M為PF的中點，
又∵AP∥FN，F為AB的中點，
∴N為PC的中點，
∴E為△PFC各邊中線的交點，
∴△PEC的面積為△PFC面積的

1

3

連接DE，可知DE與PE在一條直線上
∴△EDC的面積是△ABC面積的

1

4

所以△PFC的面積是1×

1

4

×3=

3

4

∴以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積等于

3

4

．

點評：本題考查平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．