Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF．

（1）若∠ADC=80°，求∠ECF；

（2）求證：∠ECF=∠CEF．

Answer 1

【答案】（1）∠ECF=40°；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據AD∥BC，AD=BC=2AB，可證得四邊形ABCD是平行四邊形，根據F是AD的中點，可得AF=FD=CD，根據三角形內角和定理求得∠DFC=∠DCF=（180°﹣80°）=50°，根據CE⊥AB，可得∠DCE=90°，繼而求解；

（2）延長EF，交CD延長線于M，易知∠A=∠MDF，求證△AEF≌△DMF，繼而可得FE=MF，∠AEF=∠M，再根據CE⊥AB，求得∠AEC=∠ECD=90°，根據等腰直角三角形性質可知，FC=EM=FE，進而求證結論．

（1）∵AD∥BC，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵F是AD的中點，

∴AF=FD．

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF=（180°﹣80°）=50°．

∵CE⊥AB，

∴CE⊥CD，

∴∠DCE=90°，

∴∠ECF=90°－50°＝40°；

（2）如圖，延長EF，交CD延長線于M．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF．

∵F為AD中點，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M．

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=EM=FE，

∴∠ECF=∠CEF．