Question

【題目】如圖，，，，一個以點為頂點的角繞點旋轉，角的兩邊與、交于點、，與、的延長線交于點、，連接.

（1）在旋轉的過程中，當時，如圖1.求證：；

（2）在旋轉的過程中，當時，如圖2，如果，，用等式表示線段、之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE·AF=2，證明見解析.

【解析】

（1）先證明△ABC≌△ADC，然后再證明△ACF≌△ACE即可得；

（2）過點C作CG⊥AB于點G，先求出AC的長，再證明△ACF∽△AEC，根據相似三角形的性質即可得.

（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC=45°，∴180°-∠BAC=180°-∠DAC，∴∠FAC=∠EAC=135°，

又∵∠FCA=∠ECA，AC=AC

∴△ACF≌△ACE，

∴AE=AF；

（2）AE·AF=2，證明如下：

過點C作CG⊥AB于點G，則∠BGC=∠AGC=90°，

∵∠B=30°，∴CG=BC=1，

∵∠BAC=45°，∴AC==

∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°，

又∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE，

∴△ACF∽△AEC，

∴，

故AC= AE·AF

∴AE·AF=2