Question

【題目】如圖，PA為⊙O的切線，A為切點。過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B。延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E。

（1）求證：PB為⊙O的切線；

（2）試探究線段AD、AB、CP之間的等量關系，并加以證明。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB2=2ADPC，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）要證PB是⊙O的切線，只要連接OA，再證∠PBO=90°即可；

（2）根據△OCB∽△BCP，可得到BC2=OCPC．再由OC=AD，BC=AB，得到結論：AB2=2ADPC．

試題解析：（1）證明：連接OA．∵PA為⊙O的切線，∴∠PAO=90°．

∵OA=OB，OP⊥AB于C，∴BC=CA，PB=PA．

在△PBO和△PAO中， ，∴△PBO≌△PAO，

∴∠PBO=∠PAO=90°，∴PB為⊙O的切線．

（2）AB2=2ADPC．證明如下：

∵∠OBP=∠BCO=90°，∴△OCB∽△BCP，∴，即BC2=OCPC．

∵OC=AD，BC=AB，∴=ADPC，∴AB2=2ADPC．