Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，利用待定系數法即可確定拋物線的解析式；
（2）由于點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，把D的坐標代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用對稱就可以求出關于直線BC對稱的點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，
∴

0=a-b-4a 4=-4a

，
解之得：a=-1，b=3，
∴y=-x²+3x+4；

（2）∵點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，
∴把D的坐標代入（1）中的解析式得
m+1=-m²+3m+4，
∴m=3或m=-1，
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=-x²+3x+4=0，x=-1或x=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
設點D關于直線BC的對稱點為點E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E點在y軸上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即點D關于直線BC對稱的點的坐標為（0，1）；

點評：此題考查傳統的待定系數求函數解析式，第二問考查點的對稱問題，作合適的輔助線，根據垂直和三角形全等來求P點坐標