Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+1的頂點坐標為D（1，0），

（1）求拋物線C₁的解析式；

（2）如圖1，將拋物線C₁向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物線C₂，直線y=x+c，經過點D交y軸于點A，交拋物線C₂于點B，拋物線C₂的頂點為P，求△DBP的面積

（3）如圖2，連接AP，過點B作BC⊥AP于C，設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F，試證明：FC·（AC+EC）為定值．

                         

Answer 1

（1）解：∵拋物線頂點為P（1，0），經過點（0，1）

∴可設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，將點（0，1）代入，得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；（2）解：根據題意，平移后頂點坐標P（2，-1）

∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，

∴A（0，-1），B（4，3），∴S_△DBP=3；（3）證明：過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，

設點Q的坐標是（t，t²-4t+3），則QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．

∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，

∴QM ：EC =PM ：PC ，即(t-2) ² ：EC =t-1 ：2 ，

得EC=2（t-2），

∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，

∴QN ：FC =BN ：BC ，

即4-t ：FC =3-(t ² -4t+3) ：4 ，

得FC=4 ：t ，又∵AC=4，

∴FC（AC+EC）= [4+2（t-2）]=8，

即FC（AC+EC）為定值8．