Question

【題目】如圖1，點P，Q分別是邊長為4 cm的等邊△ABC邊AB，BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，都以1 cm/s的速度分別向B，C運動．

(1)連接AQ，CP交于點M，則P，Q運動的過程中，∠CMQ的大小變化嗎？若變化，說明理由；若不變，求出它的度數；

(2)何時△PBQ是直角三角形？

(3)如圖2，若點P，Q在運動到終點后繼續在射線 AB，BC上運動，直線AQ，CP交于點M，則∠CMQ的度數為。

Answer 1

【答案】(1) ∠CMQ＝60°不變；

(2) 當t＝s或s時，△PBQ為直角三角形；

(3) ∠CMQ=120°．

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性質可證得∠CMQ=60°；

（2）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質可得到關于t的方程，則可求得t的值；

（3）同（1）可證得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性質可求得∠CMQ=120°．

解：(1)∠CMQ＝60°不變，理由如下：

由題意知AP＝BQ.

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC＝BA，∠CAP＝∠B＝60°.

∴△APC≌△BQA(SAS)．

∴∠ACP＝∠BAQ.

∵∠CMQ＝∠ACP＋∠QAC，

∴∠CMQ＝∠BAQ＋∠QAC＝∠BAC＝60°.

∴P，Q運動過程中，∠CMQ的大小不變，為60°.

(2)設運動的時間為t，則AP＝BQ＝t，BP＝4－t.

①當∠PQB＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝30°.

∴BQ＝BP，即t＝ (4－t)，解得t＝；

②當∠BPQ＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴∠BQP＝30°.

∴BP＝BQ，即4－t＝t，解得t＝.

∴當t＝s或s時，△PBQ為直角三角形．

（3）在等邊三角形ABC中，AC=BC，∠ABC=∠BCA=60°，

∴∠PBC=∠QCA=120°，且BP=CQ，

在△PBC和△QCA中

∴△PBC≌△QCA（SAS），

∴∠BPC=∠MQC，

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=120°，

∴在P、Q運動的過程中，∠CMQ的大小不變，∠CMQ=120°．