Question

在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N：

（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結論；
（2）若在AB上取一點E，連結DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2）：
①判斷此時四邊形PQMN的形狀為

菱形

  （直接寫出你的結論）
②當AE=6，EB=3，求此時四邊形PQMN的周長（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）連結AC、BD．利用三角形中位線定理判定四邊形PQMN的對邊平行且相等，易證該四邊形是平行四邊形；
（2）①四邊形PQMN是菱形；
②如圖2，過點D作DF⊥AB于F，則通過解三角形求得DF=3

3

，由勾股定理得到DB=

(3 3 )2+62

=3

7

．由①知四邊形PQMN是菱形，可計算得周長是6

7

．

解答：解：（1）連結AC、BD．∵PQ為△ABC的中位線，∴PQ

∥

.

1

2

AC
同理  MN

∥

.

1

2

AC．∴MN

∥

.

PQ，∴四邊形PQMN為平行四邊形；

（2）①四邊形PQMN是菱形；
②過點D作DF⊥AB于F，則DF=3

3

又DF²+FB²=DB²
∴DB=

(3 3 )2+62

=3

7

∴由①知四邊形PQMN是菱形，可計算得周長是6

7

．

點評：本題考查了中點四邊形．解題時，利用了三角形中位線的性質定理．