Question

如圖，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF。

（1）當A′E//x軸時，求點A′和E的坐標；
（2）當A′E//x軸，且拋物線經過點A′和E時，求拋物線與x軸的交點的坐標；
（3）當點A′在OB上運動，但不與點O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A′的坐標；若不能，請你說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知可得∠A，OE=60°，A′E=AE，
由A′E//軸，得△OA′E是直角三角形，
設A′的坐標為（0，b）
AE=A′E=，OE=2b，+2b=2+
所以b=1，A′，E的坐標分別是（0，1）與（，1）；
（2） 因為A′、E在拋物線上，所以
，所以，
函數關系式為，
由得，
與x軸的兩個交點坐標分別是（-，0）與（2，0）；
（3） 不可能使△A′EF成為直角三角形。
∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成為直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°，
若∠A′EF=90°，利用對稱性，則∠AEF=90°，A′、E、A三點共線，O與A重合，與已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能所以不能使△A′EF成為直角三角形。