Question

已知：拋物線，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊．
（1）求證：拋物線與x軸必有兩個不同交點；
（2）設直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點，與y軸交于點M，拋物線與y軸交于點N，若拋物線的對稱軸為x=a，△MNE與△MNF的面積比為5：1，求證：△ABC是等邊三角形；
（3）在（2）的條件下，設△ABC的面積為，拋物線與x軸交于點P、Q，問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓？若存在，求出圓的圓心坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，用根的判別式和三角形三邊關系即可證得；
（2）先根據拋物線的對稱軸求出a、b的關系．然后聯立拋物線與直線l的解析式，求出E、F的橫坐標，已知△MNE的面積是△MNF的面積的5倍，根據等底三角形的面積比等于高的比，由此可得出E的橫坐標是F的橫坐標的5倍，由此可求出a、c的關系，由此可求出三角形ABC的形狀為等邊三角形，得證；
（3）由（2）得到三角形ABC為等邊三角形，根據面積求出等邊三角形的邊長，即可得到三角形ABC的邊長，即得到a=b=c的值，代入確定出拋物線解析式，令解析式中的y=0，求出x的值，即可得到P和Q的橫坐標，確定出兩點的坐標，即可求出PQ的長，設圓H為滿足題意的圓，根據P與Q關于對稱軸對稱，得到HJ垂直于PQ，根據垂徑定理得到J為PQ中點，即可求出PJ的長，又圓心H在x=2上，且圓H與y軸相切，得到圓心H的橫坐標為2，且圓H的半徑為2，即HP=2，在直角三角形HPJ中，根據勾股定理求出HJ的長，即為圓心H的縱坐標，寫出圓心H坐標即可．
解答：（1）證明：令y=0，則有x²-（a+b）x+=0，
∴△=（a+b）²-c²，
由于a、b、c分別是△ABC的三邊，
∴a+b＞c＞0，
∴（a+b）²＞c²，
∴△＞0，
因此拋物線總與x軸有兩個交點．

（2）證明：由題意知：x==a，因此a=b．
設E點的橫坐標為m，F點的橫坐標為n，
聯立拋物線和直線y=ax-bc可得：x²-2ax+=ax-ac，
即x²-3ax+=0，
∴m=，n=
由題意可知：m=5n；
即3a+=15a-5
即5a²-4ac-c²=0，
解得a=-（不合題意舍去），a=c，
因此a=b=c，△ABC為等邊三角形；

（3）解：存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓，理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，設邊長為m，則邊上的高為m，
∴S_△ABC=m²=，即m²=4，解得m=2，
則a=b=c=2，拋物線解析式為y=x²-4x+1，
令y=0，得到x²-4x+1=0，解得x₁=2-，x₂=2+，
∴P（2-，0），Q（2+，0），PQ=2，
∵HJ⊥PQ，∴PJ=QJ=PQ=，
∵P與Q關于拋物線的對稱軸x=2對稱，且過P和Q的圓與y軸相切于I，
∴HI=2，即圓的半徑為2，則HP=2，
在Rt△PHJ中，根據勾股定理得：HJ²=PH²-PJ²，
即HJ==1，
則圓心H坐標為（2，1）或（2，-1）．
點評：本題考查了二次函數與一元二次方程的關系、韋達定理、函數圖象交點、垂徑定理，直線與圓相切的性質等知識點；本題有一定的難度，綜合性較強，常綜合多個考點和數學思想方法，因而解答時需“分解題意”，即將一個大問題分解為一個一個小問題，從而解決問題．本題第三問根據等邊三角形ABC的面積求出邊長，從而得到a，b及c的值，確定出拋物線的解析式是解題的突破點．