Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連結MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO.

（1）直接寫出點D的坐標；
（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連結OP.
①若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；
②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得的值最大.若存在，求出T點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）① ，；②

試題分析：（1）根據矩形及平移的性質即可得到結果；
（2）①由，可得點B的坐標，根據拋物線經過原點可設，再根據拋物線經過點與點可求得拋物線的解析式，則可設點再分∽與∽兩種情況，根據相似三角形的性質即可求得結果；
②先求得拋物線的對稱軸為直線，根據拋物線的對稱性可得，則要使得的值最大，即是使得的值最大，根據三角形的三邊關系可得當、、三點在同一直線上時，的值最大，根據待定系數法求得直線的解析式，即可求得結果.
（1）；
（2）① ∵，
∴
∵拋物線經過原點
∴設拋物線的解析式為
又拋物線經過點與點
∴，解得：
∴拋物線的解析式為
∵點在拋物線上
∴設點
1)若∽，則，
解得(舍去)，，
∴點.

2)若∽，則，，
解得(舍去)，，
∴點
②存在點，使得的值最大.
拋物線的對稱軸為直線，設拋物線與軸的另一個交點為，則點.
∵點、點關于直線對稱，
∴
要使得的值最大，即是使得的值最大，
根據三角形兩邊之差小于第三邊可知，當、、三點在同一直線上時，的值最大.設過、兩點的直線解析式為，
∴   解得：
∴直線的解析式為.
當時，.
∴存在一點使得最大.
點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需要學生熟練掌握二次函數的性質的應用.