Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD邊長為1，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對稱點(diǎn)是點(diǎn)Q，連結(jié)PQ、DQ、CQ、BQ．設(shè)AP﹦x．

（1）BQ+DQ的最小值是 ，此時(shí)x的值是 ；

（2）如圖2，若PQ的延長線交CD邊于E，并且∠CQD=90°．

① 求證：QE﹦EC； ② 求x的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①證明見解析；②

【解析】

試題分析：（1）為點(diǎn)B到點(diǎn)D兩段折線的和．由兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接DB，若點(diǎn)Q點(diǎn)落在BD上，此時(shí)和最短，且為．考慮到動點(diǎn)運(yùn)動，這種情形是存在的，由，則，所以，即，求解可得；

由已知條件對稱分析，，則，由，可得，那么若有，則結(jié)論可證．再分析新條件，易得①結(jié)論．在中，根據(jù)勾股定理列出方程，求出方程的解即可；

試題解析：（1）若點(diǎn)Q點(diǎn)落在BD上，此時(shí)和最短，且為．，則，，即，解得；

①在正方形中，Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對稱點(diǎn)，

在中，

即為的中點(diǎn)；

②在中，為的中點(diǎn)，解得