Question

某通信器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產品．已知每件產品的進價為40元，每年銷售該種產品的總開支（不含進價）總計120萬元．在銷售過程中發現，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間存在著一次函數關系，其中整數k使式子有意義．經測算，銷售單價60元時，年銷售量為50000件．
（1）求出這個函數關系式；
（2）試寫出該公司銷售該種產品的年獲利z（萬元）關于銷售單價x（元）的函數關系式（年獲利=年銷售額-年銷售產品總進價-年總開支）．當銷售單價x為何值時，年獲利最大并求這個最大值；
（3）若公司希望該種產品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助（2）中函數的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）弄清題意和題目中的數量關系，（2）根據題意列出不等式組或方程，（3）解答．
解答：解：（1）由
∴-1≤k≤1
∴k=1或k=-1（1分）
當k=1時，，年銷售量隨售價x增大而增大，不合．
∴-1，y=-x+b（2分）
把x=60，y=50000件=5萬件代入，5=-×60+b，b=8
∴y=-x+8（3分）

（2）z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x²+10x-440=-（x-100）²+60（4分）
∴當x=100元時，年獲利最大值為60萬元．（5分）

（3）令z=40，得40=-x²+10x-440
整理得x²-200x+9600=0（6分）
解得：x₁=80，x₂=120．（7分）

由圖象可知，（畫圖并標上數據1分）要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應在80元到120元之間，（說明此點1分）又因為銷售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，則銷售單價應定為80元．（說明此點1分）（10分）
點評：本題信息量較大，在考查提取、篩選信息，分析、解決實際問題等能力的同時，培養了同學們數形結合的思想．