Question

【題目】已知，在中，，于點，分別交、于點、點，連接，若.

（1）若，求的面積.

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）72；（2）見解析．

【解析】

（1）由得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，則∠BAG=∠ACE，由得∠ACE+∠EAC=90°，則∠BAG+∠EAC=∠BAE =90°，由，可證得∠AFB=∠ACE，又因為BF=BC，可得BF=AC，可證△ABF≌△EAC，則AB=AE，的面積=AECD=，在Rt△ABE中，由BE=12即可求得；

（2）由（1）知：△ABF≌△EAC，得△EAD≌△EAC，設(shè)CE=x，則AB=CD=2x，BF=AD=x，根據(jù)面積法計算AG的長，作高線GH，利用三角函數(shù)分別得EH和GH的長，利用勾股定理計算EG的長，代入結(jié)論化簡可得結(jié)論．

（1）解：∵，

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，

∴∠BAG=∠ACE，

∵，

∴∠ACE+∠EAC=90°，

∴∠BAG+∠EAC=∠BAE =90°，

∵，，

∴∠AFB=∠ACE，∠AEC =∠BAE =90°，

∵BF=BC，，

∴BF=AC，

∴△ABF≌△EAC，

∴AB=AE，

∴的面積=AECD=，

在Rt△ABE中， BE=12

∴2= =72，

∴的面積=72；

（2）證明：由（1）知：△ABF≌△EAC，
∵BF=BC=AD，
∴△EAD≌△EAC，
∴AF=DE=CE，AE=AB=2CE，
設(shè)CE=x，則AB=CD=2x，BF=AD=x，，
S△ABF=BFAG=AFAB，
xAG=x2x，
∴AG=x，
∴CG=x-x=x，
過G作GH⊥CD于H，
sin∠ECG== ，
∴GH=x，
cos∠ECG== ，
CH=x，
∴EH=x-x=，
∴EG== = ，
∴= = ，
∴GE=AG．

故答案為：（1）72；（2）見解析．