Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，AD＝6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，且OA＞OB．

（1）求的值．

（2）若E為x軸上的點，且S△AOE＝，求經過D、E兩點的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？

（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝x﹣或y＝x+，△AOE∽△DAO；（3）存在，滿足條件的點有四個：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．

【解析】

（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求出AB的長度，再代入計算即可；

（2）先根據三角形的面積求出點E的坐標，并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標，然后利用待定系數法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；

（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

解：（1）x2﹣7x+12＝0，

（x﹣3）（x﹣4）＝0，

∴x﹣3＝0，x﹣4＝0，

解得x1＝3，x2＝4，

∵OA＞OB，

∴OA＝4，OB＝3，

在△AOB中，AB＝＝＝5，

∴sin∠ABC＝；

（2）根據題意，設E（x，0），則

S△AOE＝×OA×x＝×4x＝，

解得x＝，

∴E（，0）或（﹣，0），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點D的坐標是（6，4），

設經過D、E兩點的直線的解析式為y＝kx+b，

則①，

解得 ，

∴解析式為y＝x﹣；

②，

解得，

解析式為： y＝x+

在△AOE與△DAO中， ，

，

∴，

又∵∠AOE＝∠OAD＝90°，

∴△AOE∽△DAO；

（3）根據計算的數據，OB＝OC＝3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF＝AC＝5，

所以點F與B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應在直線AD上，且FC垂直平分AM，

點F（3，8）．

③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y＝﹣x+4，直線L過（，2），且k值為（平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），

L解析式為y＝x+，聯立直線L與直線AB求交點，

∴F（﹣，﹣），

④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，根據等積法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝，做A關于N的對稱點即為F，AF＝，過F做y軸垂線，垂足為G，FG＝，

∴F（﹣，）．

綜上所述，滿足條件的點有四個：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．