Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠A＝2∠CBF．

(1)求證：BF與⊙O相切．

(2)若BC＝CF＝4，求BF的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BF=4.

【解析】

（1）連接AE，根據三角形的性質求出∠AEB=90°，根據切線的判定定理證明即可；
（2）結合圖形根據直角三角形的性質求出BF．

（1）連接AE，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE，AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵∠BAC=2∠4，

∴∠1=∠4，

∵∠1+∠3=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∴AB⊥BF，

∴BF與⊙O相切；

（2）∵BC=CF=4，

∴∠F=∠4，

而∠BAC=2∠4，

∴∠BAC=2∠F，

∴∠F=30°，∠BAC=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC=4，

∴BF===4．