Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，4），B（5，0），C（0，﹣2）．在第一象限找一點D，使四邊形AOBD成為平行四邊形，

（1）點D的坐標是；
（2）連接OD，線段OD、AB的關系是；
（3）若點P在線段OD上，且使PC+PB最小，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）（8，4）
（2）OD與AB互相垂直平分
（3）

解：連接AC交OD于點P，點P即是所求點，

設經過點O、D的函數表達式為y=k1x+b，則有方程4=8k1，

∴k1= ，

∴直線OD的函數表達式為y= x；

設過點C、A的一次函數表達式為y=k2x+b，

則有方程組 ，解得 ，

∴過點C、A的一次函數表達式為y=2x﹣2，

解方程組 得 ，

∴點P（ ， ）．

【解析】解：（1.）如圖所示，D（8，4）；
所以答案是：（8，4）；
（2.）∵A（3，4），B（5，0），
∴OA= =5，OB=5，
∴AOBD是菱形，
∴OD與AB互相垂直平分；
所以答案是：OD與AB互相垂直平分；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和軸對稱-最短路線問題的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．