Question

我們知道，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形．類似地，我們把弧長等于半徑的扇形稱為“等邊扇形”．小明準備將一根長為120cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲圍成一個“等邊扇形”．
（1）小明想使這兩個“等邊扇形”的面積之和等于625cm²，他該怎么剪？
（2）這兩個“等邊扇形”的面積之和能否取得最小值？若能，請求出這個最小值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據弧長等于半徑的扇形稱為“等邊扇形”，得出扇形半徑長，再利用扇形面積公式S=

1

2

lr求出；
（2）根據二次函數的最值公式求出即可．

解答：解：（1）假設一段為x，則另一段為120-x，
∴扇形的半徑分別為：

x

3

，40-

x

3

，
∴扇形面積分別為：S₁=

1

2

lr=

1

2

×

x

3

×

x

3

=

x 2

18

，
S₂=

1

2

LR=

1

2

×（40-

x

3

）²=

x2

18

-

40

3

x+800，
∴S₁+S₂=

x 2

18

+

x2

18

-

40

3

x+800，
=

x2

9

-

40

3

x+800，
當625=

x2

9

-

40

3

x+800，
∴x²-120x+1575=0，
解得：x₁=15，x₂=105，
∴一段為15，則另一段為105．

（2）假設兩個“等邊扇形”的面積之和為y，
∴y=

x2

9

-

40

3

x+800，
當x=-

b

2a

=60時，
y取到最小值為：

4ac-b2

4a

=400．

點評：此題主要考查了扇形的面積公式以及二次函數的綜合應用，得出二次函數的解析式再求出最值是解決問題的關鍵．