Question

已知矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E是DC上一點，連AE并延長交BC的延長線于點F，正方形CGHM的頂點G、H、M分別在△ECF的三邊上．
（1）當點E為DC中點時，求正方形CGHM的邊長a₁；
（2）當DE=

1

3

DC時，求正方形CGHM的邊長a₂；
（3）當DE=

1

2

DC、DE=

1

3

DC、DE=

1

4

DC、…、DE=

1

n+1

DC時，正方形CGHM的邊長分別記為a₁、a₂、a₃、…、a_n，則a_n=

 

．（直接寫出結果）

Answer 1

分析：易得△HGE∽△ADE，有GH：AD=GE：DE，EG=CD-GH-DE，故可求得GH．

解答：解：∵GH∥AD，
∴△HGE∽△ADE．
∴GH：AD=GE：DE．
把EG=CD-GH-DE，CD=4，AD=8，DE=

1

n+1

DC代入上式，解得，GH=

8n

2n+3

．
∴（1）當n=1時，有a₁=GH=

8

5

；
∴（2）當n=2時，有a₂=GH=

16

7

；
∴（3）a_n=GH=

8n

2n+3

．

點評：本題利用了正方形的性質，平行線的性質，相似三角形的判定和性質求解．