Question

已知，△ABC為等邊三角形，點D為直線AB上一動點（點D不與A、B重合）．以CD為邊作菱形CDEF，使∠DCF=60°，連接AF．
（1）如圖1，當點D在邊AB上時，
 
①求證：∠BDC=∠AFC；
②請直接判斷結論∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？
（2）如圖2，當點D在邊BA的延長線上時，其他條件不變，結論∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？請寫出∠AFC、∠BAC、∠ACD之間存在的數量關系，并寫出證明過程；

（3）如圖3，當點D在邊AB的延長線上時，且點C、F分別在直線AB的異側，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出∠AFC、∠BAC、∠ACD之間存在的等量關系．

Answer 1

（1）①詳見解析；（2）成立；（2）不成立，∠AFC=∠BAC-∠ACD；（3）∠AFC+∠ACD=2∠BAC

試題分析：（1）①根據等邊三角形的性質可得AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°，根據菱形的性質及∠DCF=60°可得CF=CD，∠ACF=∠BCD，即可證得△BCD≌△ACF，從而可以證得結論；
②由△BCD≌△ACF可得∠AFC=∠BDC，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可證得結論；
（2）同（1）可證得△BCD≌△ACF，即可得到∠AFC=∠BDC，再結合三角形的外角的性質即可作出判斷；
（3）先根據題意畫出圖形，再結合（1）（2）中的結論即可作出判斷.
試題解析：（1）①∵△ABC為等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°
∵菱形CDEF，∠DCF=60°
∴CF=CD，∠ACF=∠BCD
∴△BCD≌△ACF
∴∠BDC=∠AFC；
②∵△BCD≌△ACF
∴∠AFC=∠BDC
∵∠BDC=∠BAC＋∠ACD
∴∠AFC=∠BAC＋∠ACD成立；
（2）∠AFC=∠BAC＋∠ACD不成立
∵△ABC為等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°
∵菱形CDEF，∠DCF=60°
∴CF=CD，∠ACF=∠BCD
∴△BCD≌△ACF
∴∠BDC=∠AFC
∴∠AFC=∠BDC=∠BAC-∠ACD；
（3）如圖所示：

則有∠AFC+∠ACD=2∠BAC.