Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點N，連接AC，點E在AB上，且AE=CE
（1）求證：AC2=AEAB；
（2）過點B作⊙O的切線交EC的延長線于點P，試判斷PB與PE是否相等，并說明理由；
（3）設⊙O半徑為4，點N為OC中點，點Q在⊙O上，求線段PQ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接BC，

∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，

∴ = ，

∴∠A=∠ABC，

∵EC=AE，

∴∠A=∠ACE，

∴∠ABC=∠ACE，

∵∠A=∠A，

∴△AEC∽△ACB，

∴ ，

∴AC2=AEAB

（2）解：PB=PE，理由是：

如圖2，連接OB，

∵PB為⊙O的切線，

∴OB⊥PB，

∴∠OBP=90°，

∴∠PBN+∠OBN=90°，

∵∠OBN+∠COB=90°，

∴∠PBN=∠COB，

∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∠COB=2∠A，

∴∠PEB=∠COB，

∴∠PEB=∠PBN，

∴PB=PE

（3）解：如圖3，∵N為OC的中點，

∴ON= OC= OB，

Rt△OBN中，∠OBN=30°，

∴∠COB=60°，

∵OC=OB，

∴△OCB為等邊三角形，

∵Q為⊙O任意一點，

連接PQ、OQ，

因為OQ為半徑，是定值4，

則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，

當P、Q、O三點共線時，PQ最小，

∴Q為OP與⊙O的交點時，PQ最小，

∠A= ∠COB=30°，

∴∠PEB=2∠A=60°，

∠ABP=90°﹣30°=60°，

∴△PBE是等邊三角形，

Rt△OBN中，BN= =2 ，

∴AB=2BN=4 ，

設AE=x，則CE=x，EN=2 ﹣x，

Rt△CNE中，x2=22+（2 ﹣x）2，

x= ，

∴BE=PB=4 ﹣ = ，

Rt△OPB中，OP= = = ，

∴PQ= ﹣4= ．

則線段PQ的最小值是 ．

【解析】（1）證明△AEC∽△ACB，列比例式可得結論；（2）如圖2，證明∠PEB=∠COB=∠PBN，根據等角對等邊可得：PB=PE；（3）如圖3，先確定線段PQ的最小值時Q的位置：因為OQ為半徑，是定值4，則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，當P、Q、O三點共線時，PQ最小，先求AE的長，從而得PB的長，最后利用勾股定理求OP的長，與半徑的差就是PQ的最小值．