Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的切線分別交AB，AC的延長線于E，F，連接BD．

（1）求證：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

如圖1，連接OD，

∵EF是⊙O的切線，且點D在⊙O上，

∴OD⊥EF，

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAC，

∴∠ADO=∠DAC，

∴AF∥OD，

∴AF⊥EF；

（2）解：

如圖2，過D作DG⊥AE于點G，連接CD，

∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，

∴BD=CD，DG=DF，

在Rt△ADF和Rt△ADG中

∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），

同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，

∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，

∴AB=AG+BG=8+2=10，

∴⊙O的半徑OA= AB=5．

【解析】（1）本題主要考查切線的性質及圓周角定理，連接OD，由切線的性質和已知條件可證得OD∥EF，再由平行線的判定則可證得所求的答案；
（2）通過過D作DG⊥AE于點G，連接CD，則可證得△ADF≌△ADG、△CDF≌△BDG，由三角形全等則可求得AB的長，再可求得圓的半徑即可．