Question

如圖：有一張形狀為梯形的紙片ABCD，上底AD長為4 cm，下底BC長為8 cm，高為8cm，點M是腰AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交DC于點N，設MN=xcm．
（1）若梯形AMND的高為h₁，梯形MBCN的高為h₂．則

h1

h2

=

 

；（用含x的式子表示）
（2）將梯形AMND沿MN折疊，點A落在平面MBCN內的點記為E，點D落在平面MBCN內的點記為F，梯形EFNM與梯形BCNM的重疊面積為S，
①求S與x的關系式，并寫出x的取值范圍；
②當x為何值時，重疊部分的面積S最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）平移梯形的一腰構成三角形后運用相似三角形的性質可得關系式；
（2）①因為M的移動性，重疊部分分為兩種情形：上面部分不超過下部分梯形；超過下面梯形．所以分類討論．
②根據函數性質，結合自變量的取值范圍，分別求出兩種情形下的最大值，比較后得結論．

解答：解：（1）

x-4

8-x

．（4分）．

（2）①（ⅰ）當4＜MN≤6時，折疊后如圖所示：
由（1）得

h1

h2

=

h1

8-h1

=

x-4

8-x

，
∴8h₁-xh₁=8x-32-xh₁+4h₁，
解得h₁=2x-8，
所以S=

1

2

（4+x）（2x-8），
即S=x²-16．（6分）．
（ⅱ）當6＜MN＜8時，折疊后如圖所示：
由（1）得AG=h₁=2x-8，GH=h₂=16-2x，EH=h₁-h₂=4x-24．

OQ

MN

=

EH

GE

即

OQ

x

=

4x-24

2x-8

所以OQ=

2x2-12x

x-4

同理可求：OP=

32-4x

x-4

所以PQ=

2x2-12x+32-4x

x-4

=

2(x2-8x+16)

x-4

=2(x-4)．
此時重疊面積S=

1

2

•(2x-8+x)•(16-2x)=-3x2+32x-64．（10分）．
綜合（ⅰ）（ⅱ）得：
S=x²-16．
0＜x≤6
S=-3x₂+32x-64．
6＜x＜8
②對于函數S=x²-16.0＜x≤6當x=6時，S最大值=20．
對于函數S=-3x²+32x-64.6＜x＜8
當x＞-

32

2×(-3)

=

16

3

時，S隨x的增大而減小，當x=6時，S=20．
綜上得當x=6時，S最大值=20．（12分）

點評：此題綜合性較強，難度較大．涉及幾何動態問題、分類討論等難點，須有較強的綜合分析問題的能力和嚴謹的思維習慣．