Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，FH．
（1）求證：△ABC≌△EBF；
（2）試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若AB=1，求HGHB的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DF⊥AC，△ABC為Rt△，

∴∠CDE=∠EBF=90°

∵∠CED=∠FEB，

∴∠DCE=∠EFB，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF，（ASA）

（2）解：結論：BD與⊙O相切．

理由：連接OB，

∵DF是AB的中垂線，∠ABC=90°，

∴DB=DC=DA，

∴∠DBC=∠C．

由（1）∠DCB=∠EFB，而∠EFB=∠OBF，

∴∠DBC=∠OBF，

∴∠DBO=∠DBC+∠EBO=∠OBF+∠EBO=90°，

∴DB⊥OB，

∴BD與⊙O相切

（3）解：連接EH，

∵BH是∠EBF的平分線，

∴∠EBH=∠HBF=45°．∠HFE=∠HBE=45°．

又∠GHF=∠FHB，

∴△GHF∽△FHB，

∴ = ，

∴HGHB=HF2，

∵⊙O是Rt△BEF的內接圓，

∴EF為⊙O的直徑，

∴∠EHF=90°，

又∠HFE=45°，

∴EH=HF，

∴EF2=EH2+HF2=2HF2，

在Rt△ABC中，AB=1，tan∠C= ，

∴BC=2，AC= ，

由（1）知△ABC≌△EBF，

∴EF=AC= ，

∴2HF2=EF2=5，

∴HF2= ，

故HGHB=HF2=

【解析】（1）根據ASA或AAS即可證明；（2）結論：BD與⊙O相切． 連接OB，只要證明OB⊥BD即可；（3）連接EH，首先證明△GHF∽△FHB，可得 = ，即HGHB=HF2 ， 想辦法求出HF2即可解決問題．