Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點（點E與點A，D不重合），BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N，設AE=x．
（1）試用含x的式子表示BM；
（2）求證：MN=BE；
（3）設四邊形ADNM的面積為S，求S關于x的函數關系式．

Answer 1

（1）連接ME，根據題意，得MB=ME，（1分）
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，
∴（2-AM）²=x²+AM²，（3分）
解得AM=1-

1

4

x²，
∴BM=2-AM=2-（1-

1

4

x²）=

1

4

x²+1；

（2）設MN交BE于P，根據題意，得MN⊥BE，
過N作AB的垂線交AB于F，在Rt△AEB和Rt△MNF中，
∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF，
又AB=FN，∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MN=BE；（9分）

（3）由（1）有AM=1-

1

4

x²，
由（2）△EBA≌△MNF，
∴EA=MF，∴DN=AF=AM+MF=AM+AE，
∴四邊形ADNM的面積S=

AM+DN

2

×AD=

AM+AF

2

×2
=2AM+AE
=2（1-

1

4

x²）+x
=-

1

2

x²+x+2，
即所求關系式為S=-

1

2

x²+x+2．