Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠C=90°，線段DE在射線BC上，且DE=AC，線段DE沿射線BC運動，開始時，點D與點B重合，點D到達點C時運動停止，過點D作DF=DB，與射線BA相交于點F，過點E作BC的垂線，與射線BA相交于點G．設BD=x，四邊形DEGF與△ABC重疊部分的面積為S，S關于x的函數圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3時，函數的解析式不同）

（1）填空：BC的長是 ；

（2）求S關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）S=．

【解析】

試題分析：（1）由圖象即可解決問題．（2）分三種情形：①如圖1中，當0≤x≤1時，作DM⊥AB于M，根據S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四邊形ECAG即可解決．②如圖2中，作AN∥DF交BC于N，設BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根據S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四邊形ECAG即可解決．③如圖3中，根據S=CDCM，求出CM即可解決問題．

試題解析：（1）由圖象可知BC=3．

（2）①如圖1中，當0≤x≤1時，作DM⊥AB于M，

由題意BC=3，AC=2，∠C=90°，

∴AB=，

∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，

∴△BMD∽△BCA，

∴，

∴DM=，BM=，

∵BD=DF，DM⊥BF，

∴BM=MF，

∴S△BDF=x2，

∵EG∥AC，

∴，

∴，

∴EG=（x+2），

∴S四邊形ECAG= [2+（x+2）]（1﹣x），

∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四邊形ECAG=3﹣x2﹣ [2+（x+2）]（1﹣x）=﹣x2+x+．

②如圖②中，作AN∥DF交BC于N，設BN=AN=x，

在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，

∴x2=22+（3﹣x）2，

∴x=，

∴當1＜x≤時，S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣x2，

③如圖3中，當＜x≤3時，

∵DM∥AN，

∴，

∴，

∴CM=（3﹣x），

∴S=CDCM=（3﹣x）2，

綜上所述S=．