Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于兩點M，N，交y軸于點P，其中M的坐標是（a+c，0）．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，①求cosC的值；②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當的值，使三角形MND（D為拋物線的頂點）是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵拋物線y=x²-2ax+b²經過點M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0（1分）
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0
∴b²+c²=a²．（5分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC為直角三角形；（2分）

（2）①如圖所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON．（5分）
又M（a+c，0）
∴N(

a+c

4

，0)（3分）
∴a+c，

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根
∴(a+c)+

a+c

4

=2a3．（5分）
∴c=

3

5

a（4分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得b=

4

5

a．（5分）
∴cosC=

b

a

=

4

5

（5分）
②能．（5分）
由（1）知y=x²-2ax+b²=x²-2ax+a²-c²=（x-a）²-c²
∴頂點D（a，-c²）（6分）
過D作DE⊥x軸于點E則NE=EM，DN=DM
要使△MND為等腰直角三角形，只須ED=

1

2

MN=EM．（5分）
∵M（a+c，0）D（a，-c²）
∴DE=c²EM=c
∴c²=c又c＞0，
∴c=1（7分）
∵c=

3

5

ab=

4

5

a
∴a=

5

3

b=

4

3

．（5分）
∴當a=

5

3

，b=

4

3

，c=1時，△MNP為等腰直角三角形．（8分）