Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過O點且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點G是AE中點且∠AOG=30°，則下列結論正確的個數為（ ） ⑴DC=3OG；（2）OG= BC；（3）△OGE是等邊三角形；（4）S△AOE= SABCD ．

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵EF⊥AC，點G是AE中點， ∴OG=AG=GE= AE，
∵∠AOG=30°，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∠GOE=90°﹣∠AOG=90°﹣30°=60°，
∴△OGE是等邊三角形，故（3）正確；
設AE=2a，則OE=OG=a，
由勾股定理得，AO= = = a，
∵O為AC中點，
∴AC=2AO=2 a，
∴BC= AC= ×2 a= a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB= =3a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，故（1）正確；
∵OG=a， BC= a，
∴BC≠ BC，故（2）錯誤；
∵S△AOE= a a= a2 ，
SABCD=3a a=3 a2 ，
∴S△AOE= SABCD ， 故（4）正確；
綜上所述，結論正確是（1）（3）（4）共3個．
故選C．
根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG=AG=GE= AE，再根據等邊對等角可得∠OAG=30°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠GOE=60°，從而判斷出△OGE是等邊三角形，判斷出（3）正確；設AE=2a，根據等邊三角形的性質表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，從而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，從而判斷出（1）正確，（2）錯誤；再根據三角形的面積和矩形的面積列式求出判斷出（4）正確．