Question

【題目】如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作⊙O的切線交AB于點E．
（1）如圖1，若∠ABC=90°，求證：OE∥AC；
（2）如圖2，已知AB=AC，若sin∠ADE= ， 求tanA的值．

Answer 1

【答案】解:（1）證明：連結OD，如圖1，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
在Rt△OBE和Rt△ODE中，

∴Rt△OBE≌Rt△ODE，
∴∠1=∠2，
∵OC=OD，
∴∠3=∠C，
而∠1+∠2=∠C+∠3，
∴∠2=∠C，
∴OE∥AC；
（2）解：連結OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如圖2，
∵AB=AC，OC=OD，
而∠ACB=∠OCD，
∴∠A=∠COD，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，
∴∠ADE=∠DOF，
∴sin∠DOF=sin∠ADE=，
在Rt△DOF中，sin∠DOF==，
設DF=x，則OD=3x，
∴OF==2x，DF=CF=x，OC=3x，
∵DHOC=OFCD，
∴DH==x，
在Rt△ODH中，OH==x，
∴tan∠DOH===，
∴tan∠A=．


【解析】（1）連結OD，如圖1，根據切線的性質得∠ODE=90°，再證明Rt△OBE≌Rt△ODE得到∠1=∠2，加上∠3=∠C，則利用三角形外角性質可得∠2=∠C，然后根據平行線的判定可判斷OE∥AC；
（2）連結OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如圖2，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理，由AB=AC，OC=OD，∠ACB=∠OCD可得∠A=∠COD，根據切線的性質得∠ODE=90°，則∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，利用等角的余角相等得∠ADE=∠DOF，于是有sin∠DOF=sin∠ADE= ， 在Rt△DOF中，根據正弦的定義得到= ， 則可設DF=x，則OD=3x，利用勾股定理計算出OF=2x，DF=CF=x，OC=3x，接著可運用面積法計算出DH=span>x，然后在Rt△ODH中用勾股定理計算出OH=x，再根據正切的定義求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．