Question

【題目】如圖，已知拋物線 與x軸交于點A，B，與y軸負半軸交于點C且OB=OC，點P為拋物線上的一個動點，且點P位于x軸下方，點P與點C不重合。

（1）求拋物線的解析式
（2）若△PAC的面積為 ，求點P的坐標
（3）若以A、B、C、P為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，對應的點P有且只有2個？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y= x2+ax+4a與y軸負半軸交于點C，

∴C（0，4a），4a＜0，

∵OB=OC，

∴B（-4a，0），

∵B在拋物線上，

∴ （-4a）2+a（-4a）+4a=0，

解得a=0或a=-1，

∵a＜0，

∴a=-1，

∴拋物線的解析式為y= x2-x-4；

（2）解：設P（m， m2-m-4），

由y= x2-x-4得A（-2，0），B（4，0），C（0，-4），

①如圖1，P在B、C之間時，即0＜m＜4，設PA與y軸交于D，

∵A（-2，0），P（m， m2-m-4），

∴直線PA的解析式為y= （m-4）（x+2），

∴D（0，m-4），

∴CD=m，

∴S△PAC= DC（xP-xA）= m（m+2），

∵△PAC的面積為 ，

∴ m（m+2）= ，

解得m=-1± ，

∵0＜m＜4，

∴m=-1+ ，

yP=- -2 ，故P（-1+ ，- -2 ）；

②如圖2，點P在A、C之間時，即-2＜m＜0，過P作y軸平行線交于AC于D點，

∵A（-2，0），C（0，4），

∴直線AC的解析式為y=-2x-4，

∴D（m，-2m-4），

∴PD=-2m-4-（ m2-m-4）=- m2-m，

∴S△PAC= PD（xC-xA）=- m2-m，

∴- m2-m= ，解得m=-1，

∴P（-1，- ），

綜上，符合條件的點P有兩個，分別是（-1+ ，- -2 ）或（-1，- ）；

（3）解；由題意可得：P（m， m2-m-4），

①如圖3，當點P在A、C之間時，即-2＜m＜0，連接AC，

則S四邊形APCB=S△PAC+S△ABC，

由（2）得S△PAC=- m2-m，

∵A（-2，0），B（4，0），C（0，-4），

∴S△ABC= ABCO=1，

∴S=- m2-m+12=- （m+1）2+ ，

∵-2＜m＜0，

∴12≤S≤ ，

此時當12≤S≤ 時，對應的點P有且只有2個；當S= 時，對應的點P有且只有1個．

②如圖4，當點在B、C之間時，即0＜m＜4，連接PA，

則S四邊形APCB=S△PAC+S△APB，

由（2）得S△PAC= m（m+2），

又S△PAB= AB×|yP|，

∵P在第四象限，

∴yP＜0，

∴S△PAB= ×AB×|yP|= ×6×（- m2+m+4），

∴S=S△ACP+S△APB=-m2+4m+12=-（m-2）2+16，

∵0＜m＜4，12＜S≤ ，

此時當12＜S＜16時，對應的點P有且只有2個，

當S=16時，對應的點P有且只有1個，

由①②得：

當12≤S≤ ，對應的點P有且只有2個；

當S= 時，對應的點P有且只有1個；

當12＜S＜16時，對應的點P有且只有2個，

當S=16時，對應的點P有且只有1個；

綜上所述： ＜S＜16時，對應的點P有且只有2個．

【解析】（1）可利用二次函數圖像的特殊點加上所給條件，易得a=-1，解得二次函數解析式
（2）由于p在x軸下方，考慮實際情況，可能出現y軸左右兩種情況，所以要分情況討論，在利用坐標軸把三角形分為兩個以坐標軸為底邊的三角形，結合所給數據，還有△PAC的面積為 可列方程從而得到m的值，再得到點p的坐標，需要注意的是保證所取得的坐標在取值范圍之內。
（3）由（2）可知要分情況討論，利用（2）所得的數據可以計算出每一段函數中p對應的個數，從而取得點P有且只有2個時S的取值范圍