Question

如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于Q.

（1）求證：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）9.

試題分析：（1）由已知可得△ABC是等邊三角形，從而得到∠BAC=∠C=60°，根據SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根據全等三角形的性質可得到∠ABE=∠CAD，再根據等角的性質即可求得∠BPQ=60°，再根據余角的性質得到∠PBQ=30°，根據在直角三角形中30°的角對的邊是斜邊的一半即可證得結果．
試題解析：（1）∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形．
∴∠BAC=∠C=60°．
∵AB=AC，AE=CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°．
∴∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ=8．
∴BE=BP+PE=8+1=9,
又BE=AD
∴AD=9.
考點: 1.等邊三角形的判定與性質；2.三角形全等的判定與性質.