Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）反比例函數y=的圖象的一個分支經過點C，并且另個分支與拋物線在第一象限相交．
①求出k的值；
②反比函數y=的圖象是否經過點A和點B，試說明理由；
③若點P（a，b）是反比例函數y=在第三象限的圖象上的一個動點，連接AB、PA、PB，請問是否存在這樣的一點P使△PAB的面積為3？如果存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A（1，2）、B（2，1）和
C（-2，-1）三點
∴
解得：
∴拋物線的解析式為y=-x²++2

（2）①反比例函數y=的圖象的一個分支經過點C（-2，-1）
∴k=（-2）×（-1）=2
②由①知k的值為2，所以反比例函數的解析式為y=，
∵1×2=2=k，
∴點A（1，2）在反比例函數y=的圖象上，
同理點B（2，1）也在反比例函數y=的圖象上，
即反比函數y=的圖象經過點A和點B，
③存在
設點P的坐標為（a，b）
因為點P（a，b）在y=上，
所以點P的坐標為（a，）
作PE∥x軸，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分別為D、E．
則PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-+2，BE=-+1
∴S_△ADP=AD•PD=（-+2）（-a+1）=-a-+2
∴S梯_形ABED=（AD+BE）•DE=-
∴S_△BPE=PE•BE=-a-+2
∴S_△PAB=S_△ADP+S_梯形ABED-S_△BPE=-a-+
若△PAB的面積為3則-a-+=3
∴a²+3a+2=0
∴a₁=-1，a₂=-2
經檢驗a₁=-1，a₂=-2都是方程-a-+=3的解
所以點P的坐標為（-1，-2）或（-2，-1）
分析：（1）根據待定系數法將A，B，C三點坐標代入拋物線y=ax²+bx+c中，即可求得拋物線的解析式；
（2）①根據C點的坐標即可求出反比例函數的解析式y=；②由k的值等于2，若A，B兩點的橫縱坐標相乘等于2，則反比例函數就經過該點．③直接求△PAB的面積不容易，可以過P作PE∥x軸，作AD⊥PE于D，BE⊥PE于E，先求出四邊形ABEP的面積，再減去△BPE的面積，即得△PAB的面積，令其等于3，即可求得滿足條件的點P．
點評：本題主要考查了待定系數法求反比例函數的解析式，同時在求解三角形的面積時，要靈活的運用割補法進行求解．