Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F，G，連接ED，DG．

（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=，點H是BD上的一個動點，求HG+HC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EBGD是菱形；（2）10．

【解析】

試題分析：（1）結論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解決問題．

試題解析：（1）四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，∵∠EDF=∠GBF，∠EFD=∠GFB，DF=BF，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四邊形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=，∴EC===10．

∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值為10．