Question

【題目】如圖，⊙A過OBCD的三頂點O、D、C，邊OB與⊙A相切于點O，邊BC與⊙O相交于點H，射線OA交邊CD于點E，交⊙A于點F，點P在射線OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O為原點，OP所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，點B的坐標為（0，﹣2）．

（1）若∠BOH=30°，求點H的坐標；

（2）求證：直線PC是⊙A的切線；

（3）若OD=，求⊙A的半徑．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）先判斷出OH=OB=2，利用三角函數(shù)求出MH，OM，即可得出結論；
（2）先判斷出∠PCD=∠DAE，進而判斷出∠PCD=∠CAE，即可得出結論；
（3）先求出OE═3，進而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出結論．

（1）解：如圖，過點H作HM⊥y軸，垂足為M．

∵四邊形OBCD是平行四邊形，

∴∠B=∠ODC

∵四邊形OHCD是圓內接四邊形

∴∠OHB=∠ODC

∴∠OHB=∠B

∴OH=OB=2

∴在Rt△OMH中，

∵∠BOH=30°，

∴MH=OH=1，OM=MH=，

∴點H的坐標為（1，﹣），

（2）連接AC．

∵OA=AD，

∴∠DOF=∠ADO

∴∠DAE=2∠DOF

∵∠PCD=2∠DOF，

∴∠PCD=∠DAE

∵OB與⊙O相切于點A

∴OB⊥OF

∵OB∥CD

∴CD⊥AF

∴∠DAE=∠CAE

∴∠PCD=∠CAE

∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°

∴直線PC是⊙A的切線；

（3）解：⊙O的半徑為r．

在Rt△OED中，DE=CD=OB=1，OD= ，

∴OE═3

∵OA=AD=r，AE=3﹣r．

在Rt△DEA中，根據(jù)勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1

解得r=．