Question

如圖①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN．
（1）探究BM、MN、NC之間的關系，并說明理由．
（2）若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長．
（3）若點M、N分別是AB、CA延長線上的點，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出BM、MN、NC之間的關系．

Answer 1

分析：（1）延長AC至E，使得CE=BM并連接DE，構造全等三角形，找到相等的線段MD=DE，再進一步證明△DMN≌△DEN，進而等量代換得到MN=BM+NC；
（2）利用（1）中結論，將△AMN的周長轉化為AB、AC的和來解答；
（3）按要求作出圖形，BM、MN、NC之間的關系是MN=NC-BM，理由為：先證△BMD≌△CED，再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得證．

解答：
解：（1）MN=BM+NC，理由如下：
延長AC至E，使得CE=BM（或延長AB至E，使得BE=CN），并連接DE，如圖1所示：
∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD與△ECD中，
∵

BD=CD ∠MBD=∠ECD CE=BM

，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
在△DMN和△DEN中，
∵

ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED

，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；

（2）利用（1）中的結論得出：
△AMN的周長=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
=2+2=4；

（3）按要求作出圖形，如圖2所示，
（1）中結論不成立，應為MN=NC-BM，理由如下：
在CA上截取CE=BM，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
在△BMD和△CED中，
∵

CE=BM ∠MBD=∠ BD=CD

ECD=90°，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
在△MDN和△EDN中，
∵

ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED

，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質及等腰三角形的性質；此題從不同角度考查了作相等線段構造全等三角形的能力，要充分利用等邊三角形及等腰三角形的性質，轉換各相等線段解答．