Question

【題目】如圖：在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數y= 與一次函數y=﹣x+7的圖象交于點A．

（1）求點A的坐標；
（2）在y軸上確定點M，使得△AOM是等腰三角形，請直接寫出點M的坐標；
（3）如圖、設x軸上一點P（a，0），過點P作x軸的垂線（垂線位于點A的右側），分別交y= 和y=﹣x+7的圖象于點B、C，連接OC，若BC= OA，求△ABC的面積及點B、點C的坐標；
（4）在（3）的條件下，設直線y=﹣x+7交x軸于點D，在直線BC上確定點E，使得△ADE的周長最小，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：聯立得： ，

解得： ，

則點A的坐標為（3，4）

（2）解：根據勾股定理得：OA= =5，

如圖1所示，分四種情況考慮：

當OM1=OA=5時，M1（0，5）；

當OM2=OA=5時，M2（0，﹣5）；

當AM3=OA=5時，M3（0，8）；

當OM4=AM4時，M4（0， ），

綜上，點M為（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0， ）

（3）解：設點B（a， a），C（a，﹣a+7），

∵BC= OA= ×5=14，

∴ a﹣（﹣a+7）=14，

解得：a=9，

過點A作AQ⊥BC，如圖2所示，

∴S△ABC= BCAQ= ×14×（9﹣3）=42，

當a=9時， a= ×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，

∴點B（9，12）、C（9，﹣2）

（4）解：如圖3所示，作出D關于直線BC的對稱點D′，連接AD′，與直線BC交于點E，連接DE，此時△ADE周長最小，

對于直線y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），

由（3）得到直線BC為直線x=9，

∴D′（11，0），

設直線AD′解析式為y=kx+b，

把A與D′坐標代入得： ，

解得： ，

∴直線AD′解析式為y=﹣ x+ ，

令x=9，得到y=1，

則此時點E坐標為（9，1）

【解析】（1）聯立正比例函數和一次函數解析式建立方程組，解方程組求解，即可求出點A的坐標。
（2）利用勾股定理求出OA的長，根據已知點M在x軸上，且△AOM是等腰三角形，分四種情況討論：當OM1=OA=5時，當OM2=OA=5時，當AM3=OA=5時，當OM4=AM4時，分別寫出點M的坐標。
（3）根據已知點P（a，0），過點P作x軸的垂線（垂線位于點A的右側），設出B與C坐標，表示出BC，由已知BC與OA關系，及OA的長求出BC的長，求出a的值，利用三角形的面積公式求出△ABC的面積，再求出a的值，即可確定出點B、C的坐標。
（4）作出D關于直線BC的對稱點D′，連接AD′，與直線BC交于點E，連接DE，此時△ADE周長最小，先求出點D′的坐標，再求出直線直線AD′解析式，即可求出點E的坐標。
【考點精析】掌握三角形的面積和等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道三角形的面積=1/2×底×高；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．