Question

如圖，點B的坐標為（0，8），C點的坐標為（0，10），AB⊥OB，OA=10，將△OAB繞點O按順時針方向旋轉，使斜邊OA落在x軸正半軸上，記作OAˊ，點B的落點Bˊ在第一象限．
（1）在給定的坐標系中畫出△OA'B'，并求點A的坐標；
（2）求過C，A，A'三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使以O、Aˊ、P為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）△OA'B'如圖所示．過點A作AD⊥OAˊ于D，
則四邊形OBAD為矩形，
所以AD=OB=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=6，
所以OD=AB=6．
故點A的坐標為（6，8）；

（2）∵C（0，10）在拋物線上，
∴c=10．
∴y=ax²+bx+10．
∵A（6，8）Aˊ（10，0）在拋物線y=ax²+bx+10上，
∴解得
∴所求解析式為．

（3）①若以點O為直角頂點，
因OC=OAˊ且點C在拋物線上，
故點C（0，10）為所求的點；
②若以點Aˊ為直角頂點，則使△OPAˊ為等腰直角三角形的點P的坐標為（10，10）或（10，-10）．
經檢驗知，這兩點都不在（2）中的拋物線上；
③若以點P為直角頂點，
則使△OPAˊ為等腰直角三角形的點P的坐標為（5，5）或（5，-5），
經檢驗知，這兩點也都不在（2）中的拋物線上．
綜上述可知，在拋物線上只存在一點P（0，10），使△OPAˊ為等腰直角三角形．
分析：（1）本題需先根據圖形，再過點A作AD⊥OAˊ于D，得出AD、OB的值，再由勾股定理得出AB的值，從而得出OD、AB的值，即可求出點A的坐標．
（2）本題需先根據C（0，10）在拋物線上得出c的值，從而得出y=ax²+bx+10，再根據A（6，8）Aˊ（10，0）在拋物線y=ax²+bx+10上，即可列出式子，解出a、b的值，即可求出所要求的解析式．
（3）本題需先根據題意，分三種情況進行討論，若分別以O、Aˊ、P為頂點，分別得出P點的存在或不存在，即可得出正確答案．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合，在解題時要注意知識的綜合應用以及解析式、坐標的求法是本題的關鍵．